Stupnjevi i radijani: pretvorba i primjena

Što je radijan

Zamisli kružnicu polumjera 1 m. Kad po njoj prijeđeš luk dug 1 m, središnji kut iznosi jedan radijan. Cijela kružnica ima opseg 2π, pa puni krug od 360° iznosi 2π radijana.

Jedan radijan je 180 / π = 57,2957795131°. Nije okrugao broj, ali u matematici i fizici radijani su prirodna jedinica, jer izravno povezuju kut i duljinu luka.

cos π u radijanima

Prebaci prekidač na „Radijani”, pritisni π pa cos. Rezultat je −1, jer je π radijana isto što i 180°, a kosinus od 180° iznosi −1.

Ako isto napraviš u stupnjevima, kalkulator računa kosinus kuta od 3,14°, pa dobiješ 0,9984971499. Oba rezultata su točna, samo za dva različita kuta.

Pretvorba

• Iz stupnjeva u radijane: pomnoži s π i podijeli sa 180.
• Iz radijana u stupnjeve: pomnoži sa 180 i podijeli s π.

U kalkulatoru to ide redom: 30 × π ÷ 180 = daje 0,5235987756 radijana. Kalkulator računa slijeva nadesno, pa ovaj redoslijed daje točan rezultat.

Obrnuto, 2 radijana je 2 × 180 ÷ π = 114,591559026°.

Pretvorba napamet

Za grubu procjenu zapamti da je jedan radijan oko 57°, a 1° oko 0,01745 radijana. Kut od 10° tako je približno 0,17 radijana.

Kod malih kutova sinus je gotovo jednak kutu u radijanima. 5° je 0,0872664626 radijana, a sin 5° = 0,0871557427. Razlika je tek na četvrtoj decimali.

Tablica pretvorbe

Tipična pogreška

Učenik upiše 30, pritisne sin i dobije −0,9880316241 umjesto 0,5. Kalkulator je ostao na radijanima i računao sinus od 30 radijana, a to je oko 1.719°.

Prije svakog trigonometrijskog računa pogledaj prekidač. Ako zadatak ima π u kutu, gotovo sigurno treba radijane. Ako ima znak °, treba stupnjeve.

Kako prepoznati način rada

Brza provjera: upiši 90 i pritisni sin. U stupnjevima dobiješ 1, a u radijanima 0,8939966636. Kad je rezultat takav „čudan” broj, prekidač je na krivom mjestu.

Gdje se koriste radijani

• U fizici: kutna brzina u radijanima u sekundi, titranje i valovi.
• U matematičkoj analizi: derivacija sinusa jednaka je kosinusu samo kad je kut u radijanima.
• U programiranju: gotovo svi programski jezici trigonometrijske funkcije računaju u radijanima.
• U tehnici: duljina luka kružnice je polumjer puta kut u radijanima.

Duljina luka

Kad je kut u radijanima, duljina luka jednaka je r · φ. Kotač polumjera 0,3 m koji se okrene za 2 radijana prijeđe 0,6 m. Za kut u stupnjevima formula je složenija: r · φ · π / 180.

Isti odnos stoji i iza opsega kruga: puni krug od 2π radijana daje opseg 2πr. Više o broju π piše vodič broj π i površina kruga.

Kutna brzina kotača

Kotač bicikla okrene se tri puta u sekundi. Jedan okretaj je 2π radijana, pa je kutna brzina 3 · 2π = 18,85 rad/s. Uz polumjer kotača od 0,35 m brzina bicikla je 18,85 · 0,35 = 6,6 m/s, oko 23,8 km/h. U radijanima je račun običan umnožak, bez preračunavanja.

A gradi?

Postoji i treća jedinica, grad ili gon, kod koje pravi kut ima 100, a puni krug 400 jedinica. Koristi se u geodeziji, ali ovaj kalkulator je ne podržava. Za školske i tehničke zadatke dovoljni su stupnjevi i radijani, a sinus i kosinus u stupnjevima objašnjava vodič sinus, kosinus i tangens.