Broj π i površina kruga

Što je π

Ako opseg bilo koje kružnice podijeliš s njezinim promjerom, dobiješ isti broj: π ≈ 3,1415926536. Decimale se nastavljaju u beskonačnost bez ponavljanja.

Arhimed je prije više od dvije tisuće godina dokazao da je π između 3 10/71 i 3 1/7. Za većinu svakodnevnih računa dovoljno je 3,14.

π kao razlomak

Školska zamjena za π je 22/7 = 3,142857, točna na dvije decimale. Još je bolji razlomak 355/113 = 3,1415929, koji se od π razlikuje tek na sedmoj decimali. Decimalnu vrijednost bilo kojeg razlomka provjeriš u kalkulatoru razlomaka.

U praksi razlika između 3,14 i pune vrijednosti broja π rijetko išta mijenja. Kod kruga polumjera 5 cm površina uz 3,14 iznosi 78,50 cm², a uz punu vrijednost 78,54 cm². Razlika je četiri stotinke kvadratnog centimetra, što se ni na jednom metru ne vidi. Kod velikih krugova razlika naraste, pa je za bazen promjera 8 metara bolje računati s vrijednošću koju daje tipka π na kalkulatoru.

Zašto tipka π, a ne 3,14

Tipka π upisuje vrijednost s petnaest znamenki, koliko kalkulator uopće pamti. Kad rezultat ide u daljnji račun, primjerice kad se površina množi s debljinom ploče, sve se male razlike zbrajaju. Zato je navika da se π uzima s tipke, a zaokružuje tek konačni rezultat.

Isto vrijedi i za druge konstante: tipka e upisuje broj 2,718281828, osnovicu prirodnog logaritma. Ako te dvije vrijednosti upisuješ ručno, lako se potkrade pogreška u prepisivanju.

Površina kruga polumjera 5

Formula je P = r²π. Upiši 5, pritisni x² (dobiješ 25), zatim ×, pa π i =. Kalkulator pokaže 78,53981634.

Točan rezultat je 78,5398163397, a kalkulator prikazuje nešto kraći broj jer je π na zaslonu zaokružen na deset decimala. U praksi ionako zaokružuješ: 78,54 cm².

Opseg

Opseg kružnice je O = 2rπ, odnosno promjer puta π. Za polumjer 5 upiši 2 × 5 × π =. Rezultat je 31,415926536.

Okrugli stol promjera 1,2 m ima opseg 1,2 · π = 3,77 m. Toliko ti treba rubne trake ili, podijeljeno s 0,6 m po osobi, mjesta za šest ljudi.

Koliko se kotač okrene

Kotač bicikla promjera 70 cm u jednom okretaju prijeđe 0,7 · π = 2,2 m. Za kilometar se okrene oko 1.000 / 2,2 = 455 puta. Na tom se računu temelji svaki mehanički brojač kilometara.

Jedna velika ili dvije male pizze

Pizza promjera 30 cm ima površinu 15² · π = 706,86 cm², pa dvije imaju 1.413,72 cm². Jedna od 42 cm ima 21² · π = 1.385,44 cm², gotovo koliko i dvije manje.

Kod manje razlike u promjeru razlika u površini je veća nego što se čini. Pizza od 32 cm ima 804,25 cm², a ona od 26 cm ima 530,93 cm². Promjer je veći za 6 cm, a površina za 51 %. Isplati li se, ovisi o cijeni po cm².

Cijena po kvadratnom centimetru

Ako pizza od 32 cm stoji 11 €, a ona od 26 cm 8 €, velika stoji 11 / 804,25 = 1,37 centa po cm², a mala 8 / 530,93 = 1,51 cent. Velika je povoljnija, iako je skuplja.

Koliko stane u bačvu

Obujam valjka je V = r²π · h. Bačva polumjera 0,3 m i visine 0,9 m ima 0,3² · π · 0,9 = 0,2545 m³, dakle oko 254,5 litara.

U kalkulatoru to ide redom: 0,3, x², ×, π, ×, 0,9, =. Kubni metar ima 1.000 litara, pa rezultat samo pomnožiš s 1.000.

Staza oko fontane

Okrugla staza ima vanjski polumjer 4 m i unutarnji 3 m. Njezina površina je razlika dvaju krugova: (4² − 3²) · π = 7π = 21,99 m². Toliko treba kamenih ploča, uz desetak posto za rezanje.

Brze formule

Broj e

Uz π, kalkulator ima i tipku e, Eulerov broj ≈ 2,7182818285. Pojavljuje se kod rasta i opadanja: kontinuiranih kamata, razmnožavanja stanica i radioaktivnog raspada. Prirodni logaritam ln ima bazu e.

Kako se računa s e i ln, pokazuje vodič logaritmi.

Dan broja π

Broj π ima i svoj dan, 14. ožujka, jer se u američkom zapisu datuma piše 3/14. Toga dana škole diljem svijeta organiziraju natjecanja u pamćenju decimala. Za površinu prostorije ili parcele kojoj nisu svi rubovi okrugli koristi kalkulator površine.