Logaritmi: log i ln na kalkulatoru

Logaritam je obrnuta potencija

Ako je 10³ = 1000, onda je log 1000 = 3. Općenito, log_b x = y znači b^y = x. Broj b je baza, a x je broj koji logaritmiraš.

Logaritam postoji samo za pozitivne brojeve. Za 0 ili negativan broj kalkulator javi „Pogreška”.

log 1000

Upiši 1000 i pritisni log. Kalkulator odmah pokaže 3. Za 100 dobiješ 2, za 10 dobiješ 1, a za 1 dobiješ 0.

Brojevi između tih potencija daju decimalne logaritme: log 2 = 0,3010299957, a log 50 = 1,6989700043. Logaritam ti tako otprilike kaže koliko znamenki broj ima: log 50 je između 1 i 2, pa je 50 dvoznamenkast.

log i ln

Tipka log računa logaritam s bazom 10. Tipka ln računa prirodni logaritam, s bazom e ≈ 2,7182818285. ln 10 = 2,302585093, a ln e = 1.

Prirodni logaritam se pojavljuje svugdje gdje nešto raste ili opada proporcionalno samom sebi: kod kamata, razmnožavanja bakterija, radioaktivnog raspada i hlađenja.

Logaritam s drugom bazom

Kalkulator nema tipku za bazu 2, ali pomaže pravilo promjene baze: log_b x = log x / log b. Za log₂ 8 upiši 8, pritisni log, zatim ÷, upiši 2, pritisni log i =.

Na zaslonu piše 2,9999999997, a točan rezultat je 3. Razlika na desetoj decimali dolazi od toga što kalkulator međurezultate čita sa zaslona, zaokružene na deset decimala. Za svaki praktičan račun to je 3.

Koliko bitova treba

Logaritam s bazom 2 kaže koliko bitova treba za neki broj mogućnosti. Za 1.000 različitih vrijednosti to je log₂ 1000 = 9,97, dakle 10 bitova. Upiši 1000, log, ÷, 2, log, =.

Isti broj kaže i koliko puta treba prepoloviti popis dok ne ostane jedno ime. Popis od 1.000 imena, složen abecedno, pretražiš polovljenjem u najviše deset koraka.

Za koliko se godina udvostruči štednja

Uz kamatu od 5 % godišnje štednja se udvostruči za n = ln 2 / ln 1,05 godina. Upiši 2, ln, ÷, 1,05, ln, =. Rezultat je 14,2066990748, dakle nešto više od 14 godina.

Poznato „pravilo 72” daje brzu procjenu: 72 / 5 = 14,4 godine. Točan iznos štednje kroz godine računa kalkulator složenih kamata.

Koliko godina do cilja

Isti obrazac radi za bilo koji cilj. Uz 4 % godišnje, 5.000 € naraste na 8.000 € za ln 1,6 / ln 1,04 = 11,98 godina, dakle za dvanaest godina. Općenito je broj godina ln (cilj / početak) podijeljen s ln (1 + kamata).

Logaritamske ljestvice

• pH: pH = −log [H⁺]. Čista voda ima koncentraciju vodikovih iona 10⁻⁷ mol/L, pa je pH 7.
• Decibeli: razina zvuka u dB je 10 · log (P / P₀). Zvuk sto puta jače snage glasniji je za 20 dB.
• Potresi: magnituda raste za jedan kad amplituda poraste deset puta.

Takve ljestvice sažimaju ogromne raspone u pregledne brojeve. Razlika od jednog broja na njima uvijek znači višestruku promjenu.

Pravila koja olakšavaju račun

Veza s potencijama

Logaritam i potencija se poništavaju. Ako znaš da je log x = 2,5, onda je x = 10^2,5. U kalkulatoru upiši 10, xʸ, 2,5 i = pa dobiješ 316,2277660168. Više o potencijama piše vodič potencije i korijeni.