Normalna raspodjela i pravilo 68-95-99,7

Zvonolika krivulja

Mnoge veličine iz prirode i svakodnevice raspoređene su tako da je najviše vrijednosti oko prosjeka, a što si dalje od njega, to ih je manje. Grafički to izgleda kao zvono, pa se krivulja zove zvonolika ili Gaussova.

Takve su visine ljudi, pogreške mjerenja, masa proizvoda iz iste serije i mnogi rezultati testova. Nisu takvi, primjerice, plaće ni cijene stanova, gdje nekoliko vrlo visokih vrijednosti rasteže desnu stranu.

Pravilo 68-95-99,7

• Unutar jedne devijacije od sredine nalazi se oko 68 % vrijednosti.
• Unutar dvije devijacije oko 95 %.
• Unutar tri devijacije oko 99,7 %.

Točnije, radi se o 68,27 %, 95,45 % i 99,73 %. Izvan tri devijacije ostaje samo 0,27 % vrijednosti, otprilike jedna od 370.

Visine deset osoba

Upiši 168, 175, 181, 172, 177, 185, 170, 179, 174, 169. Kalkulator pokaže sredinu 175, devijaciju 5,5377 i raspon od 168 do 185 cm.

Jedna devijacija ide od 169,5 do 180,5 cm, a unutar tog raspona je šest od deset osoba, 60 %. Dvije devijacije idu od 163,9 do 186,1 cm i obuhvaćaju svih deset. Kod malog uzorka udjeli ne pogađaju pravilo točno, ali su mu blizu.

Rasponi za visine

Z-vrijednost

Z-vrijednost kaže koliko je neka vrijednost devijacija udaljena od sredine: z = (x − sredina) / devijacija. Osoba visoka 185 cm ima z = (185 − 175) / 5,54 = 1,81.

Iz z-vrijednosti se vidi koliko je nešto neobično. Sve iznad 2 događa se u manje od 5 % slučajeva, a iznad 3 vrlo rijetko. Tako se u proizvodnji traže neispravni proizvodi, a u školi neobično visoki ili niski rezultati.

Koliko ih je ispod

Iz z-vrijednosti se može procijeniti i udio ispod nje. Kod z = 0 to je 50 %, kod z = 1 oko 84 %, kod z = 2 oko 97,7 %, a kod z = −2 samo oko 2,3 %.

Osoba visoka 180,5 cm ima z = 1, pa je viša od otprilike 84 % ljudi iz iste skupine, ako su visine normalno raspodijeljene.

Kontrola kvalitete

Stroj puni vrećice od 500 g s devijacijom od 4 g. Ako je prosječno punjenje točno 500 g, 95 % vrećica ima između 492 i 508 g, a samo iznimno koja ima manje od 488 g.

Proizvođači zato prosjek postave malo iznad deklarirane mase, da gotovo nijedna vrećica ne bude laganija od onoga što piše na njoj.

Rezultati ispita

Rezultati velikih ispita često imaju zvonolik oblik. Ako je prosjek 60 bodova, a devijacija 12, oko 68 % pristupnika ima između 48 i 72 boda. Više od 84 boda, dakle dvije devijacije iznad prosjeka, ima samo oko 2,3 %.

Kad pravilo ne vrijedi

Pravilo pretpostavlja simetričnu, zvonoliku raspodjelu. Kod plaća, gdje nekoliko vrlo visokih iznosa povlači prosjek gore, raspon „sredina ± devijacija” može ispasti čak i ispod nule, što nema smisla.

Prije nego što primijeniš pravilo, pogledaj podatke: je li većina blizu sredine i je li im raspored približno simetričan. Kako nastaje devijacija koju ovdje koristiš, objašnjava vodič kako se računa standardna devijacija, a zašto se kvadriraju odstupanja, vodič varijanca.