Kako se računa standardna devijacija

Zašto sam prosjek nije dovoljan

Dva razreda mogu imati isti prosjek ocjena 3,5, a biti potpuno različiti. U jednom su gotovo svi dobili trojke i četvorke, a u drugom ima i jedinica i petica. Prosjek to ne pokazuje. Standardna devijacija pokazuje.

Mala devijacija znači da su vrijednosti skupljene oko sredine. Velika znači da su raštrkane.

Račun u pet koraka

• Izračunaj aritmetičku sredinu: (4 + 8 + 6 + 5 + 3 + 7) / 6 = 33 / 6 = 5,5.
• Od svakog broja oduzmi sredinu: −1,5; 2,5; 0,5; −0,5; −2,5; 1,5.
• Svaku razliku kvadriraj: 2,25; 6,25; 0,25; 0,25; 6,25; 2,25.
• Zbroj kvadrata (17,5) podijeli s n − 1 = 5. Dobiješ varijancu 3,5.
• Izvuci drugi korijen: √3,5 = 1,8708. To je standardna devijacija.

Isti primjer u kalkulatoru

U polje „Brojevi” upiši 4, 8, 6, 5, 3, 7 i ostavi odabran „Uzorak (n−1)”. Kalkulator pokaže standardnu devijaciju 1,8708, sredinu 5,5000, varijancu 3,5000, šest vrijednosti te najmanju i najveću, 3 i 8.

Zašto se razlike kvadriraju

Zbroj samih odstupanja od sredine uvijek je nula, jer se pozitivna i negativna odstupanja poništavaju. Kvadriranjem sva postaju pozitivna.

Kvadriranje k tome jače kažnjava velika odstupanja. Broj koji je od sredine udaljen 2,5 pridonosi 6,25, a onaj udaljen 0,5 samo 0,25. Zato jedna jako odskočna vrijednost može značajno povećati devijaciju.

Zašto se na kraju vadi korijen

Varijanca je u kvadratnim jedinicama. Ako su brojevi u eurima, varijanca je u „eurima na kvadrat”, što ništa ne znači. Korijen vraća rezultat u izvornu jedinicu, pa devijaciju možeš izravno usporediti s podacima. Više o tome u vodiču varijanca.

Kraći put na papiru

Kad brojeva ima puno, lakše je zbrojiti kvadrate samih brojeva. Zbroj kvadrata odstupanja jednak je zbroju kvadrata brojeva umanjenom za n puta kvadrat sredine. Za naš niz: 16 + 64 + 36 + 25 + 9 + 49 = 199, a 6 · 5,5² = 181,5. Razlika je 17,5, isto kao prije.

Taj put štedi oduzimanja, ali kod velikih brojeva s malim razlikama zna izgubiti točnost.

Kako upisati brojeve

• Razmakom: 4 8 6 5 3 7.
• Zarezom i razmakom: 4, 8, 6, 5, 3, 7.
• Točkom sa zarezom, što je najsigurnije kod decimala: 4,5; 6; 7,25.

Decimalni zarez bez razmaka kalkulator čita kao decimalu, a zarez s razmakom kao razdjelnik. Treba najmanje dvije vrijednosti.

Kako pročitati rezultat

Devijacija od 1,87 uz prosjek 5,5 znači da su brojevi od sredine tipično udaljeni za nešto manje od dva. Većina ih pada između 5,5 − 1,87 = 3,63 i 5,5 + 1,87 = 7,37. U našem nizu to su 4, 5, 6 i 7, dakle četiri od šest.

Uzorak ili populacija

U ovom primjeru dijeli se s n − 1, jer je niz uzet kao uzorak. Da su to svi podaci koji postoje, dijelilo bi se sa 6, a devijacija bi bila 1,7078. Kada se koristi koji nazivnik, objašnjava vodič uzorak ili populacija.

Gdje se koristi

• U školi: raspršenost ocjena u razredu ili rezultata na testu.
• U proizvodnji: koliko proizvodi odstupaju od zadane mjere.
• U financijama: kolebanje cijene dionice, što se naziva volatilnost.
• U znanosti: preciznost ponovljenih mjerenja.
• U anketama: pogreška procjene, o kojoj piše vodič postotak i postotni bod.