Standardna devijacija uzorka ili populacije

Populacija: imaš sve podatke

Populacija je cijela skupina koja te zanima. Ako računaš raspršenost ocjena jednog razreda i imaš ocjene svih učenika, to je populacija. Zbroj kvadrata odstupanja tada dijeliš s brojem vrijednosti n.

Za niz 4, 8, 6, 5, 3, 7 zbroj kvadrata je 17,5. Podijeljeno sa 6 daje varijancu 2,9167, a korijen devijaciju 1,7078.

Uzorak: imaš samo dio

Uzorak je manji dio populacije na temelju kojeg zaključuješ o cijeloj. Anketa od 1.000 ljudi je uzorak svih birača. Tada se dijeli s n − 1, pa je devijacija malo veća: 17,5 / 5 = 3,5 i √3,5 = 1,8708.

Ta zamjena n s n − 1 zove se Besselova korekcija, po njemačkom matematičaru i astronomu Friedrichu Besselu.

Zašto n − 1

Kod uzorka ne znaš pravu sredinu populacije, pa računaš sredinu samog uzorka. Ona je uvijek „pomaknuta” prema podacima iz uzorka, pa su odstupanja od nje u prosjeku nešto manja nego odstupanja od prave sredine.

Dijeljenje s n − 1 umjesto s n to podcjenjivanje ispravlja. Procjena varijance populacije tako u prosjeku ispada točna, a statističari kažu da je nepristrana.

Mali pokus

Uzmi „populaciju” od tri broja: 1, 2 i 3. Njezina varijanca je 2/3. Sada iz nje izvlači parove brojeva, s vraćanjem, na svih devet mogućih načina i za svaki par izračunaj varijancu.

Ako dijeliš s n, prosjek svih devet varijanci je 1/3, upola premalo. Ako dijeliš s n − 1, prosjek je točno 2/3. Tu se na malom primjeru vidi što Besselova korekcija radi.

Kako razlika ovisi o veličini niza

Kod malih nizova razlika je velika, a kod stotinu i više vrijednosti gotovo nestaje. Devijacija se razlikuje za korijen omjera iz tablice.

Primjeri iz prakse

• Ocjene svih učenika u razredu, a zanima te samo taj razred: populacija.
• Mjerenje 10 slučajno odabranih proizvoda iz serije od 5.000: uzorak.
• Dnevne temperature cijelog mjeseca, a zanima te samo taj mjesec: populacija.
• Isti mjesec kao pokazatelj „tipičnog” vremena u tom dijelu godine: uzorak.
• Visina deset prijatelja kao procjena visine svih odraslih: uzorak.

Dva broja i jedan broj

Kod dva broja razlika je najveća. Za 10 i 14 uzorak daje devijaciju 2,8284, a populacija točno 2.

S jednom vrijednošću devijacija uzorka ne postoji, jer bi se dijelilo s nulom. Zato kalkulator traži najmanje dva broja. Populacija od jednog člana ima devijaciju nula, ali takav podatak ništa ne govori.

Kad nije jasno što odabrati

Ako nije jasno, odaberi uzorak. Gotovo svi podaci s kojima radiš dio su neke veće cjeline, a devijacija uzorka je malo opreznija procjena.

Kalkulatori u tabličnim programima razlikuju ove dvije funkcije, najčešće kao STDEV.S za uzorak i STDEV.P za populaciju. Isti izbor imaš i u ovom kalkulatoru.

Oznake u knjigama

Devijacija populacije obično se označava grčkim slovom σ (sigma), a devijacija uzorka slovom s. Varijanca je σ² ili s². Aritmetička sredina populacije je μ, a uzorka x̄.

Ako te zanima sama varijanca i zašto je u kvadratnim jedinicama, pogledaj vodič varijanca. Kako se računa devijacija korak po korak, objašnjava vodič kako se računa standardna devijacija.