Varijanca: što pokazuje i kako se računa

Formula

Varijanca je zbroj kvadrata odstupanja od sredine podijeljen s n − 1 kod uzorka ili s n kod populacije. Standardna devijacija je njezin korijen.

Drugim riječima, varijanca je devijacija na kvadrat. Ako znaš jednu, znaš i drugu.

Temperature kroz tjedan

Prosjek je 147 / 7 = 21. Odstupanja su −3, 0, −2, 3, 1, −1 i 2, a njihovi kvadrati 9, 0, 4, 9, 1, 1 i 4. Zbroj je 28.

Kao uzorak, 28 / 6 = 4,6667, a devijacija √4,6667 = 2,1602 °C. Kao populacija, 28 / 7 = 4 i devijacija točno 2 °C.

Zašto se češće navodi devijacija

Varijanca temperatura je 4,67 „stupnjeva na kvadrat”. Tu jedinicu nitko ne može zamisliti. Devijacija od 2,16 °C izravno kaže da su dani u prosjeku bili oko dva stupnja topliji ili hladniji od prosjeka.

Zato se u izvješćima i tablicama gotovo uvijek navodi standardna devijacija, a varijanca ostaje u pozadini računa.

Gdje je varijanca praktičnija

Varijance se mogu zbrajati, a devijacije ne. Ako dvije neovisne veličine imaju varijance 4 i 9, njihov zbroj ima varijancu 13, a devijaciju √13 ≈ 3,61, a ne 2 + 3 = 5.

Zbog toga statistički postupci, primjerice analiza varijance, rade s varijancama. Tek na kraju se vadi korijen za rezultat koji se može pročitati.

Put u dva dijela

Put na posao ima dva dijela: vožnju autobusom s devijacijom od 4 minute i hodanje s devijacijom od 3 minute. Ako su neovisni, varijance se zbrajaju: 16 + 9 = 25. Devijacija cijelog puta je 5 minuta, a ne 7.

Kako varijanca reagira na promjene

• Ako svim brojevima dodaš isti iznos, varijanca se ne mijenja. Temperature više za 5 °C imaju istu raspršenost.
• Ako sve brojeve pomnožiš s 2, varijanca se poveća četiri puta, a devijacija dvaput.
• Jedna vrlo odskočna vrijednost može višestruko povećati varijancu, jer se njezino odstupanje kvadrira.

Iz Celzija u Fahrenheite

Temperature iz primjera u Fahrenheitima dobiju se kao °F = 1,8 · °C + 32. Dodavanje 32 varijancu ne mijenja, a množenje s 1,8 povećava je 1,8² = 3,24 puta: 4,6667 · 3,24 = 15,12. Devijacija raste 1,8 puta, na 3,89 °F.

Usporedba raspršenosti

Varijance nizova s različitim jedinicama ne mogu se izravno usporediti. Za to služi koeficijent varijacije, devijacija podijeljena sa sredinom: kod visina je 3,16 %, a kod temperatura 10,29 %.

Vrijeme puta na posao

Deset jutarnjih vožnji traje 32, 35, 29, 41, 33, 30, 38, 34, 31 i 37 minuta. Prosjek je 34 minute, a devijacija 3,8 minuta. Ako planiraš stići na vrijeme u gotovo svakom slučaju, računaj s prosjekom plus dvije devijacije, oko 42 minute.

Kako se iz sredine i devijacije procjenjuju rasponi, pokazuje vodič normalna raspodjela i pravilo 68-95-99,7.

Kad je varijanca nula

Varijanca je nula samo kad su sve vrijednosti jednake, primjerice 5, 5, 5 i 5. Kod stvarnih mjerenja to je rijetko i često znači da je uređaj pregrub. Vaga koja kod svakog vaganja pokaže 70 kg vjerojatno ne prikazuje decimale, a masa se ipak mijenja.