Heronova formula: površina trokuta iz tri stranice

Formula

Prvo izračunaš poluopseg, polovinu zbroja stranica: s = (a + b + c) / 2. Površina je zatim P = √(s · (s − a) · (s − b) · (s − c)).

To je sve. Nema visine, nema kutova, nema crtanja. Zato je formula praktična kad trokut možeš izmjeriti samo po rubovima, recimo komad zemljišta ili trokutastu ploču.

Korak po korak: 7, 8 i 9

Poluopseg je (7 + 8 + 9) / 2 = 12. Razlike su 12 − 7 = 5, 12 − 8 = 4 i 12 − 9 = 3. Umnožak svega je 12 · 5 · 4 · 3 = 720, a √720 = 26,83.

Kalkulator uz površinu pokaže i opseg od 24, kutove od 48,2°, 58,4° i 73,4° te da je trokut raznostraničan i šiljastokutan.

Provjera na trokutu koji svi znaju

Trokut 3, 4, 5 je pravokutan, pa mu površinu znaš i bez Herona: 3 · 4 / 2 = 6. Heron daje isto. Poluopseg je 6, razlike su 3, 2 i 1, a √(6 · 3 · 2 · 1) = √36 = 6.

Takva provjera je dobra navika kad formulu tek učiš. O pravokutnim trokutima više piše vodič pravokutni trokut i Pitagorin poučak.

Kad trokut ne postoji

Ne mogu bilo koje tri dužine zatvoriti trokut. Svaka stranica mora biti kraća od zbroja drugih dviju. Kod 2, 3 i 6 to ne vrijedi, jer je 2 + 3 = 5 manje od 6. U Heronovoj formuli tada se pod korijenom pojavi negativan broj, a kalkulator javi da stranice ne čine valjan trokut.

Granični slučaj je 3, 4 i 7. Tu je 3 + 4 točno 7, pa bi „trokut” bio spljošten u dužinu s površinom nula. Kalkulator ni njega ne prihvaća.

Kad znaš visinu

Ako visinu imaš, lakše je računati P = a · v / 2. Heron je tu za situacije kad visinu ne znaš ili je ne možeš izmjeriti.

Heronova formula može poslužiti i obrnuto, za visinu. Iz P = c · v / 2 slijedi v = 2P / c. Za trokut 7, 8, 9 visina na stranicu od 9 iznosi 2 · 26,83 / 9 = 5,96, a na stranicu od 7 iznosi 7,67.

Heron na znanstvenom kalkulatoru

Formulu možeš izračunati i na znanstvenom kalkulatoru. Za 7, 8 i 9 upiši 12 × 5 × 4 × 3 = pa pritisni √x. Dobiješ 26,83281573, isto kao gore.

Kod decimalnih stranica pazi na zaokruživanje. Za 7,5, 8,2 i 9,6 poluopseg je 12,65, a razlike su 5,15, 4,45 i 3,05. Umnožak 12,65 × 5,15 × 4,45 × 3,05 iznosi 884,21, a korijen iz njega 29,74. Poluopseg nemoj zaokružiti na 12,7, jer se pogreška kroz umnožak poveća.

Tko je bio Heron

Heron iz Aleksandrije bio je grčki matematičar i inženjer iz 1. stoljeća. Formulu je zapisao u djelu Metrica, uz dokaz. Postoje naznake da ju je poznavao već Arhimed, ali ime je ostalo Heronovo.

Heron je, usput, opisao i jednostavan parni stroj, automat za prodaju svete vode i niz naprava s polugama i zupčanicima. Površina trokuta bila mu je samo jedan od praktičnih problema.

Jedinice

Površina izlazi u kvadratu jedinice u kojoj upisuješ stranice: ako su stranice u centimetrima, površina je u cm², a ako su u metrima, u m². Kalkulator jedinicu ne piše, pa je treba zapamtiti.

Sve tri stranice moraju biti u istoj jedinici. Jedna u centimetrima, a dvije u metrima daju besmislen rezultat. Decimalne vrijednosti upisuj sa zarezom: 7,5.

Nekoliko površina za usporedbu

Zadnji red je stvarna parcela u metrima, obrađena u vodiču površina trokutaste parcele i zabata. Kutove istog trokuta 7, 8, 9 kalkulator računa kosinusovim poučkom, o čemu piše vodič kutovi trokuta.