Kutovi trokuta iz stranica: kosinusov poučak

Poučak

Kosinusov poučak povezuje tri stranice s jednim kutom: c² = a² + b² − 2ab · cos γ. Ovdje je γ kut nasuprot stranici c.

Za računanje kuta poučak se preokrene: cos γ = (a² + b² − c²) / (2ab). Kad znaš kosinus, kut dobiješ inverznom funkcijom, arkus kosinusom.

Primjer: 4, 6 i 9

Najveći kut je nasuprot stranici od 9. Kosinus mu je (4² + 6² − 9²) / (2 · 4 · 6) = (16 + 36 − 81) / 48 = −29 / 48 = −0,6042. Negativan kosinus znači kut veći od 90°, a arkus kosinus daje 127,2°.

Za kut nasuprot stranici od 4: (36 + 81 − 16) / 108 = 0,9352, dakle 20,7°. Treći kut kalkulator dobije kao ostatak do 180°: 180 − 127,2 − 20,7 = 32,1°.

Koji kut pripada kojoj stranici

U kalkulatoru kut A leži nasuprot stranici a, kut B nasuprot stranici b, a kut C nasuprot stranici c. Tako je u svim školskim udžbenicima.

Najveći kut uvijek je nasuprot najduljoj stranici, a najmanji nasuprot najkraćoj. Ako ti ispadne drukčije, negdje su se zamijenila slova.

Brza provjera bez kutova

Vrstu trokuta prema kutovima možeš odrediti i bez arkus kosinusa. Kvadrat najdulje stranice usporedi sa zbrojem kvadrata drugih dviju.

• Ako je manji, trokut je šiljastokutan: kod 7, 8, 9 je 81 < 49 + 64 = 113.
• Ako je jednak, trokut je pravokutan: kod 6, 8, 10 je 100 = 36 + 64.
• Ako je veći, trokut je tupokutan: kod 4, 6, 9 je 81 > 16 + 36 = 52.

Zbroj je uvijek 180°

Zbroj kutova u trokutu je 180°, pa treći kut ne treba posebno računati. Kalkulator to i koristi. Ali kad računaš ručno, dobro je izračunati sva tri pa provjeriti zbroj.

Ako ti ispadne 179,9° ili 180,1°, to je od zaokruživanja. Kod 179° ili 181° pogreška je stvarna, najčešće u predznaku ili u kvadriranju.

Stupnjevi, minute i sekunde

Kalkulator kutove piše decimalno, s jednom decimalom. Ako ti treba zapis u minutama, decimalni dio pomnoži sa 60. Točniji kut od 127,17° je 127° i 0,17 · 60 = 10 minuta, dakle 127° 10′. Kut od 20,74° je 20° 44′.

U geodeziji i navigaciji minute su i dalje uobičajene, a u školi i tehnici češće se koriste decimalni stupnjevi.

Kut između dvaju zidova

Kut u uglu sobe možeš izmjeriti samo metrom. Od ugla odmjeri po 1 m uz svaki zid i izmjeri razmak između tih dviju točaka. Upiši 1, 1 i taj razmak u kalkulator.

Za razmak od 1,41 m kalkulator pokaže kut od 89,7°, dakle gotovo pravi. Za 1,5 m kut je 97,2°, pa zidovi nisu okomiti, što se osjeti kod postavljanja ormara ili pločica.

Sinusov poučak za provjeru

Kad imaš sve kutove, možeš ih provjeriti sinusovim poučkom: a / sin α = b / sin β = c / sin γ. Za trokut 4, 6, 9 svi omjeri iznose 11,29.

Taj zajednički broj je promjer kružnice opisane trokutu, pa je njezin polumjer 5,65. Ako se omjeri ne slažu, kutovi su krivo izračunati.

Kutovi u stvarnim situacijama

• Nagib krova: zabat širok 12 m s kosinama od 7,5 m ima nagib od 36,9°.
• Rampa ili stubište: iz duljine, visine i horizontalnog pomaka dobiješ nagib bez mjerenja kuta.
• Parcela: kutovi pokazuju koliko je zemljište „nakrivo”, što pomaže pri postavljanju ograde.
• Za kut iz samo dvije stranice pravokutnog trokuta treba ti arkus tangens. Sinus, kosinus i tangens objašnjava vodič sinus, kosinus i tangens.

Kutovi trokuta 7, 8, 9

Istom trokutu površinu računa Heronova formula, opisana u vodiču Heronova formula.