Skraćivanje razlomaka

Što se zapravo događa

Ako brojnik i nazivnik podijeliš istim brojem, vrijednost razlomka se ne mijenja. 18/24 podijeljeno sa 6 gore i dolje daje 3/4, a oba su jednaka 0,75.

Razlomak je potpuno skraćen kad brojnik i nazivnik više nemaju zajedničkog djelitelja osim 1. Tada kažemo da su relativno prosti.

Kako skratiti razlomak u kalkulatoru

Kalkulator uvijek računa s dva razlomka, pa jedan trik pomaže: upiši 18/24, odaberi × i drugi razlomak postavi na 1/1. Množenje s jedinicom ne mijenja vrijednost, a kalkulator rezultat svejedno skrati. Dobiješ 3 / 4 i 0,7500.

Najveći zajednički djelitelj

Najbrže je dijeliti najvećim zajedničkim djeliteljem (NZD), jer se tako sve obavi u jednom koraku. Djelitelji broja 18 su 1, 2, 3, 6, 9 i 18, a broja 24 su 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 i 24. Najveći zajednički je 6.

Popisivanje djelitelja radi kod malih brojeva. Za veće postoji brži put.

Euklidov algoritam

Kalkulator NZD traži Euklidovim algoritmom, starim više od dvije tisuće godina. Veći broj podijeliš manjim i gledaš ostatak. Zatim manji broj podijeliš ostatkom i tako redom, dok ostatak ne bude nula. Zadnji ostatak različit od nule je NZD.

Za 84/126: 126 = 1 × 84 + 42, a 84 = 2 × 42 + 0. NZD je 42, pa 84/126 postaje 2/3. Dva koraka, bez ikakvog pogađanja.

Skraćivanje u nekoliko koraka

Ne moraš odmah znati NZD. Možeš kratiti malim brojevima dok god ide: 84/126 podijeljeno s 2 daje 42/63, pa s 3 daje 14/21, pa sa 7 daje 2/3. Rezultat je isti, samo s više koraka.

Kod ovakvog načina lako je stati prerano. Uvijek provjeri može li se dobiveni razlomak još skratiti.

Brza pravila djeljivosti

• S 2: broj završava parnom znamenkom (0, 2, 4, 6, 8).
• S 3: zbroj znamenki djeljiv je s 3. Za 126 je 1 + 2 + 6 = 9, dakle da.
• S 5: broj završava s 0 ili 5.
• S 9: zbroj znamenki djeljiv je s 9.
• S 10: broj završava nulom.

Kad se ništa ne može skratiti

Razlomci poput 3/8, 7/12 ili 5/6 već su u najjednostavnijem obliku. Kalkulator ih vraća nepromijenjene, jer im je NZD 1.

Brzo pravilo: ako je jedan od brojeva prost, a drugi nije njegov višekratnik, razlomak se ne može skratiti. 7/12 je takav, jer je 7 prost broj, a 12 nije djeljivo sa 7.

Kad pravila djeljivosti ne pomognu

Kod 391/527 nijedan broj nije paran, zbroj znamenki nije djeljiv s 3, a ne završavaju ni s 0 ni s 5. Izgleda kao da se razlomak ne može skratiti, ali može.

Euklidov algoritam ide ovako: 527 = 1 × 391 + 136, zatim 391 = 2 × 136 + 119, pa 136 = 1 × 119 + 17 i na kraju 119 = 7 × 17 + 0. NZD je 17, pa je 391/527 = 23/31. Napamet bi se to teško vidjelo.

Suprotan smjer: proširivanje

Brojnik i nazivnik možeš i pomnožiti istim brojem. Tada razlomak proširuješ: 3/4 = 6/8 = 75/100. Vrijednost se opet ne mijenja.

Proširivanje ti treba kod zbrajanja, kad razlomke dovodiš na isti nazivnik, što je opisano u vodiču zbrajanje i oduzimanje razlomaka. A proširenje na nazivnik 100 daje postotak: 3/4 = 75/100 = 75 %.

Primjeri

Gdje se traži skraćeni oblik

U školi se rezultat gotovo uvijek piše skraćen, pa 14/24 umjesto 7/12 obično znači izgubljen bod. I u radionici se koriste skraćeni oblici: svrdlo se ne traži kao 6/16 inča, nego kao 3/8.